Primzahl

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst besitzt. Primzahlen gelten als die „Grundbausteine“ der natürlichen Zahlen, da sich jede natürliche Zahl größer als 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen lässt (Fundamentalsatz der Arithmetik).

Eigenschaften #

Unendlichkeit der Primzahlen #

Bereits der griechische Mathematiker Euklid bewies um 300 v. Chr., dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Sein Beweis durch Widerspruch gilt als eines der frühesten Beispiele eines eleganten mathematischen Existenzbeweises.

Verteilung der Primzahlen #

Mit wachsender Zahlengröße werden Primzahlen zunehmend seltener, ihre ungefähre Verteilung beschreibt der Primzahlsatz, den Carl Friedrich Gauß und andere Mathematiker im 19. Jahrhundert vermuteten und der 1896 unabhängig von Jacques Hadamard und Charles-Jean de la Vallée Poussin bewiesen wurde.

Anwendung #

Primzahlen sind zentral für die moderne Kryptographie: Verschlüsselungsverfahren wie RSA beruhen darauf, dass die Multiplikation zweier großer Primzahlen einfach, die Faktorisierung des Produkts jedoch praktisch sehr aufwendig ist. Dieses asymmetrische Verhältnis sichert etwa Online-Banking und verschlüsselte Kommunikation ab.

Einordnung #

Trotz einfacher Definition bleiben viele Fragen zu Primzahlen bis heute ungelöst, etwa die Goldbach-Vermutung oder die Verteilung von Primzahlzwillingen. Die Riemannsche Vermutung, die Aussagen über die Verteilung der Primzahlen präzisiert, zählt zu den bedeutendsten ungelösten Problemen der Mathematik.